与えられた等式 $\frac{3x^2 - 2x + 4}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ が $x$ に関する恒等式となるような定数 $A$, $B$, $C$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式

$\frac{3x^2 - 2x + 4}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

が $x$ に関する恒等式となるような定数 $A$, $B$, $C$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺に $(x+1)(x-1)^2$ を掛けます。

すると、

$3x^2 - 2x + 4 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)$

となります。

この式を展開すると、

$3x^2 - 2x + 4 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 1) + C(x+1)$

$3x^2 - 2x + 4 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - B + Cx + C$

$3x^2 - 2x + 4 = (A+B)x^2 + (-2A+C)x + (A-B+C)$

となります。

この式が恒等式であるためには、$x^2$, $x$, 定数項の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、次の連立方程式を得ます。

\begin{align*}

A+B &= 3 \\

-2A+C &= -2 \\

A-B+C &= 4

\end{align*}

最初の式から $B = 3-A$ となります。

この式を3番目の式に代入すると、

$A - (3-A) + C = 4$

$2A + C = 7$

となります。

一方、2番目の式は $-2A + C = -2$ です。

これら2つの式から $A$ と $C$ を求めます。

$2A+C = 7$ と $-2A+C = -2$ の和をとると、$2C = 5$ となり、$C = \frac{5}{2}$ となります。

$2A + \frac{5}{2} = 7$

$2A = 7 - \frac{5}{2} = \frac{14-5}{2} = \frac{9}{2}$

$A = \frac{9}{4}$

となります。

$B = 3 - A = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12-9}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、$A = \frac{9}{4}$, $B = \frac{3}{4}$, $C = \frac{5}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$A = \frac{9}{4}$

$B = \frac{3}{4}$

$C = \frac{5}{2}$