(1) 直線 $y = (\sqrt{2} + 1)x - 5$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とするとき、$\tan 2\theta$ と $\tan 3\theta$ の値を求めよ。 (2) $6^n < 5^{25} \le 6^{n+1}$ を満たす自然数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ を使っても良い。 (3) $a$ を定数として、$x$ についての方程式 $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 1 - a = 0$ が異なる4つの実数解をもつとき、$a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = (\sqrt{2} + 1)x - 5$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とするとき、$\tan 2\theta$ と $\tan 3\theta$ の値を求めよ。

(2) $6^n < 5^{25} \le 6^{n+1}$ を満たす自然数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ を使っても良い。

(3) $a$ を定数として、$x$ についての方程式 $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 1 - a = 0$ が異なる4つの実数解をもつとき、$a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = (\sqrt{2} + 1)x - 5$ より、$\tan \theta = \sqrt{2} + 1$ である。

$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{1 - (\sqrt{2} + 1)^2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{1 - (2 + 2\sqrt{2} + 1)} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{-2 - 2\sqrt{2}} = -1$

$\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = \frac{3(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} + 1)^3}{1 - 3(\sqrt{2} + 1)^2} = \frac{3(\sqrt{2} + 1) - (2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1)}{1 - 3(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3\sqrt{2} + 3 - (5\sqrt{2} + 7)}{1 - (9 + 6\sqrt{2})} = \frac{-2\sqrt{2} - 4}{-8 - 6\sqrt{2}} = \frac{-2(\sqrt{2} + 2)}{-2(4 + 3\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} + 2}{4 + 3\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} + 2)(4 - 3\sqrt{2})}{(4 + 3\sqrt{2})(4 - 3\sqrt{2})} = \frac{4\sqrt{2} - 6 + 8 - 6\sqrt{2}}{16 - 18} = \frac{-2\sqrt{2} + 2}{-2} = \sqrt{2} - 1 = \sqrt{2 - 0} - 1$

(2)

$6^n < 5^{25} \le 6^{n+1}$

$\log_{10} 6^n < \log_{10} 5^{25} \le \log_{10} 6^{n+1}$

$n \log_{10} 6 < 25 \log_{10} 5 \le (n+1) \log_{10} 6$

$n (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) < 25 \log_{10} \frac{10}{2} \le (n+1) (\log_{10} 2 + \log_{10} 3)$

$n (0.3010 + 0.4771) < 25 (1 - \log_{10} 2) \le (n+1) (0.3010 + 0.4771)$

$0.7781 n < 25 (1 - 0.3010) \le 0.7781 (n+1)$

$0.7781 n < 25 (0.6990) \le 0.7781 (n+1)$

$0.7781 n < 17.475 \le 0.7781 n + 0.7781$

$n < \frac{17.475}{0.7781} \le n + 1$

$n < 22.457 \le n + 1$

したがって、$n = 22$

(3)

$f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 1 - a = 0$

$f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x (x^2 + x - 2) = 12x(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 0, 1$

$f(-2) = 3(16) + 4(-8) - 12(4) + 1 - a = 48 - 32 - 48 + 1 - a = -31 - a$

$f(0) = 1 - a$

$f(1) = 3 + 4 - 12 + 1 - a = -4 - a$

異なる4つの実数解を持つためには、

$f(-2) < 0$, $f(0) > 0$, $f(1) < 0$ である必要がある。

$-31 - a < 0$, $1 - a > 0$, $-4 - a < 0$

$a > -31$, $a < 1$, $a > -4$

したがって、$-4 < a < 1$

3. 最終的な答え

(1) $\tan 2\theta = -1$, $\tan 3\theta = \sqrt{2} - 1$

(2) $n = 22$

(3) $-4 < a < 1$