$x^4 - 7x^2 + 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

$x^4 - 7x^2 + 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $x^4 - 7x^2 + 9$ を因数分解するために、平方完成の考え方を利用します。まず、$x^4 + 6x^2 + 9$であれば $(x^2+3)^2$ と因数分解できることに注目します。元の式に $6x^2$を加えるために、$13x^2$を引きます。

$x^4 - 7x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 + 9 - 13x^2$

$= (x^2 + 3)^2 - (\sqrt{13}x)^2$

これにより、$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$の因数分解公式が利用できるようになります。

$(x^2 + 3)^2 - (\sqrt{13}x)^2 = (x^2 + 3 - \sqrt{13}x)(x^2 + 3 + \sqrt{13}x)$

一般的に、係数は整数で表記したいので、もう少し異なる方法で平方完成を考えます。

$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2+3)^2 -13x^2$ だったので、$(x^2-3)^2$にすると$x^4-6x^2+9$ となり、元の式と比較すると、$-x^2$を引くことで、元の式に戻ります。

$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2 - x^2$

これにより、$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$の因数分解公式が利用できるようになります。

$(x^2 - 3)^2 - x^2 = (x^2 - 3 - x)(x^2 - 3 + x)$

= $(x^2 - x - 3)(x^2 + x - 3)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - x - 3)(x^2 + x - 3)$