与えられた行列のランクを求めます。行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求めます。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列のランクは、線形独立な行または列の最大数です。

行基本変形を行って、階段行列に変形し、0でない行の数を数えることでランクを求めることができます。

まず、2行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1-1 & 3-2 & 5-3 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2-2 & 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

最後に、1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2-2 & 3-4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

最後に、1行目に3行目を足します。2行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1+(-1) \\ 0 & 1 & 2-2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この行列は、3つの線形独立な行（または列）を持つ階段行列であるため、ランクは3です。

3. 最終的な答え

ランクは3です。