木の高さ $PH = 6$ m, $\angle PAH = 60^\circ$, $\angle PBH = 30^\circ$, $\angle AHB = 60^\circ$, $\angle PHA = 90^\circ$, $\angle PHB = 90^\circ$ のとき、以下の距離を求めます。 (1) 2点A, H間の距離 (2) 2点B, H間の距離 (3) 2点A, B間の距離

1. 問題の内容

木の高さ $PH = 6$ m, $\angle PAH = 60^\circ$, $\angle PBH = 30^\circ$, $\angle AHB = 60^\circ$, $\angle PHA = 90^\circ$, $\angle PHB = 90^\circ$ のとき、以下の距離を求めます。

(1) 2点A, H間の距離

(2) 2点B, H間の距離

(3) 2点A, B間の距離

2. 解き方の手順

(1) AとHの間の距離AHを求めます。

$\triangle PAH$ は直角三角形なので、$AH = \frac{PH}{\tan \angle PAH}$ が成り立ちます。

$\tan \angle PAH = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ なので、

$AH = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ m

(2) BとHの間の距離BHを求めます。

$\triangle PBH$ は直角三角形なので、$BH = \frac{PH}{\tan \angle PBH}$ が成り立ちます。

$\tan \angle PBH = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、

$BH = \frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6\sqrt{3}$ m

(3) AとBの間の距離ABを求めます。

$\triangle AHB$ において、AH = $2\sqrt{3}$, BH = $6\sqrt{3}$, $\angle AHB = 60^\circ$ です。

余弦定理より、

$AB^2 = AH^2 + BH^2 - 2 \cdot AH \cdot BH \cdot \cos \angle AHB$

$AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ$

$AB^2 = 12 + 108 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$

$AB^2 = 120 - 36 = 84$

$AB = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ m

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$ m

(2) $6\sqrt{3}$ m

(3) $2\sqrt{21}$ m