与えられた式 $(x-y)^2 + yz - zx$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y)^2 + yz - zx$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2$を展開します。

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

したがって、与えられた式は

$x^2 - 2xy + y^2 + yz - zx$

となります。

式を整理して、$x$について降べきの順に並べると、

$x^2 - (2y+z)x + (y^2+yz)$

これを因数分解することを試みます。もし、$x^2 + px + q$の形で因数分解できるなら、2つの数$a$と$b$を見つけて、$a+b=p$かつ$ab=q$を満たす必要があります。

この場合、$p = -(2y+z)$と$q=y^2+yz$です。

$q = y^2 + yz = y(y+z)$なので、$a = -y$と$b = -(y+z)$とすると、

$a+b = -y - (y+z) = -2y - z = -(2y+z) = p$

$ab = (-y)(-(y+z)) = y(y+z) = y^2+yz = q$

したがって、$x^2 - (2y+z)x + (y^2+yz) = (x-y)(x-(y+z)) = (x-y)(x-y-z)$

3. 最終的な答え

$(x-y)(x-y-z)$