与えられた4つのベクトル $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -12 \\ -12 \\ -10 \\ -14 \end{bmatrix}$ が線形独立であるかを判定し、線形従属である場合は、それらの線形結合が零ベクトルになるようなスカラーを見つける問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つのベクトル

$\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -12 \\ -12 \\ -10 \\ -14 \end{bmatrix}$

が線形独立であるかを判定し、線形従属である場合は、それらの線形結合が零ベクトルになるようなスカラーを見つける問題です。

2. 解き方の手順

与えられた4つのベクトルをそれぞれ$v_1, v_2, v_3, v_4$とします。これらのベクトルが線形独立であるかどうかを調べるために、以下の線形結合を考えます。

$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = v_4$

ここで、$c_1, c_2, c_3$はスカラーです。この式を成分ごとに書き下すと、以下の連立一次方程式が得られます。

$-2c_1 + 3c_2 + 2c_3 = -12$

$0c_1 + 4c_2 + 3c_3 = -12$

$-5c_1 + 1c_2 + 0c_3 = -10$

$-1c_1 - 5c_2 + 3c_3 = -14$

この連立一次方程式を行列で表し、拡大行列を作成します。

$\begin{bmatrix} -2 & 3 & 2 & -12 \\ 0 & 4 & 3 & -12 \\ -5 & 1 & 0 & -10 \\ -1 & -5 & 3 & -14 \end{bmatrix}$

この拡大行列を簡約化するために、行基本変形を行います。

まず、3行目を-5で割ります。

$\begin{bmatrix} -2 & 3 & 2 & -12 \\ 0 & 4 & 3 & -12 \\ 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ -1 & -5 & 3 & -14 \end{bmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & -12 \\ -2 & 3 & 2 & -12 \\ -1 & -5 & 3 & -14 \end{bmatrix}$

3行目に1行目の2倍を加えます。

4行目に1行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & -12 \\ 0 & 2.6 & 2 & -8 \\ 0 & -5.2 & 3 & -12 \end{bmatrix}$

2行目を4で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0.75 & -3 \\ 0 & 2.6 & 2 & -8 \\ 0 & -5.2 & 3 & -12 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の2.6倍を引きます。

4行目に2行目の5.2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0.75 & -3 \\ 0 & 0 & 0.05 & -0.2 \\ 0 & 0 & 6.9 & -27.6 \end{bmatrix}$

3行目を0.05で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0.75 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 6.9 & -27.6 \end{bmatrix}$

4行目から3行目の6.9倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0.75 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の0.75倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -0.2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の0.2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、$c_1 = 2$, $c_2 = 0$, $c_3 = -4$.

つまり、$2v_1 + 0v_2 - 4v_3 = v_4$です。よって、これらのベクトルは線形従属です。

$2v_1 + 0v_2 - 4v_3 - v_4 = 0$を満たすスカラーは、$2, 0, -4, -1$です。

3. 最終的な答え

線形従属。

$2\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \\ -1 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix} + (-4)\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix} -12 \\ -12 \\ -10 \\ -14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$