一般項が $a_n = -2n + 3$ で表される数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) この数列が等差数列であることを示し、初項と公差を求める。 (2) -45 がこの数列の項に含まれるかどうかを調べ、含まれる場合は第何項であるかを求める。

1. 問題の内容

一般項が $a_n = -2n + 3$ で表される数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) この数列が等差数列であることを示し、初項と公差を求める。

(2) -45 がこの数列の項に含まれるかどうかを調べ、含まれる場合は第何項であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示すには、$a_{n+1} - a_n$ が $n$ に依存しない定数であることを示せばよい。

$a_{n+1} - a_n = (-2(n+1) + 3) - (-2n + 3) = -2n - 2 + 3 + 2n - 3 = -2$

したがって、$a_{n+1} - a_n = -2$ は定数なので、数列 $\{a_n\}$ は等差数列である。

初項 $a_1$ は、$a_1 = -2(1) + 3 = 1$

公差は $a_{n+1} - a_n = -2$

(2) -45 が数列の項に含まれるかどうかを調べる。

ある整数 $n$ に対して、$a_n = -45$ が成り立つかどうかを調べる。

$-2n + 3 = -45$

$-2n = -48$

$n = 24$

$n$ は整数であるため、-45 はこの数列の項に含まれる。

-45 は第24項である。

3. 最終的な答え

(1) この数列は等差数列であり、初項は1、公差は-2である。

(2) -45 はこの数列の第24項である。