初項が $a$ で、初項から第3項までの和が $S$ であるような等比数列がただ1つだけ存在する時、$a$と$S$の関係、$S$の値、公比 $r$ の値、および第10項の値を求める問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

1. 問題の内容

初項が $a$ で、初項から第3項までの和が $S$ であるような等比数列がただ1つだけ存在する時、$a$と$S$の関係、$S$の値、公比 $r$ の値、および第10項の値を求める問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

2. 解き方の手順

等比数列の初項から第3項までの和は、

$S = a + ar + ar^2$

と表せます。問題文より、この和が $S$ となるような実数の公比 $r$ がただ1つだけ存在します。つまり、$ar^2 + ar + a - S = 0$ という $r$ の二次方程式がただ1つの実数解を持つ条件を考えます。$a \neq 0$ なので、$r$ の二次方程式は

$r^2 + r + 1 - \frac{S}{a} = 0$

となります。

この二次方程式がただ一つの実数解を持つためには、判別式 $D = 0$ でなければなりません。

$D = 1^2 - 4(1)(1 - \frac{S}{a}) = 0$

$1 - 4 + \frac{4S}{a} = 0$

$\frac{4S}{a} = 3$

$S = \frac{3}{4} a$

$S = \frac{3}{4} a$ を $r^2 + r + 1 - \frac{S}{a} = 0$ に代入すると、

$r^2 + r + 1 - \frac{3}{4} = 0$

$r^2 + r + \frac{1}{4} = 0$

$(r + \frac{1}{2})^2 = 0$

$r = -\frac{1}{2}$

第10項は $ar^9$ で表されるので、

$ar^9 = a(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{a}{2^9} = -\frac{a}{512}$

3. 最終的な答え

$a$と$S$の関係：$S = \frac{3}{4}a$

$S$の値：$\frac{3}{4}a$

公比 $r$ の値：$-\frac{1}{2}$

第10項の値：$-\frac{a}{512}$