一般項が $a_k = 2k-1$ である数列を、第 $n$ 群が $(2n-1)$ 個の項を含むように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の初項を $n$ の式で表す。 (2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を $n$ の式で表す。 (3) 2013 は第何群の第何項か。

1. 問題の内容

一般項が $a_k = 2k-1$ である数列を、第 $n$ 群が $(2n-1)$ 個の項を含むように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の初項を $n$ の式で表す。

(2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を $n$ の式で表す。

(3) 2013 は第何群の第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の初項を求める。

第 $n$ 群の初項は、第 $(n-1)$ 群までの項数に1を加えた番号の項である。第 $n$ 群までの項数は、

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1)-n = n^2$

よって、第 $n$ 群の最初の項は、数列の第 $(n-1)^2+1$ 項である。数列の一般項は $a_k = 2k-1$ なので、第 $n$ 群の初項は

$a_{(n-1)^2+1} = 2((n-1)^2+1)-1 = 2(n^2 - 2n + 1 + 1) - 1 = 2n^2 - 4n + 4 - 1 = 2n^2 - 4n + 3$

(2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を求める。

第 $n$ 群の項数は $2n-1$ である。第 $n$ 群の初項は $2n^2 - 4n + 3$ である。公差は2であるから、等差数列の和の公式を用いると、

$S(n) = \frac{(2n-1)}{2} \{2(2n^2-4n+3) + (2n-1-1) \cdot 2 \}$

$S(n) = \frac{(2n-1)}{2} \{4n^2-8n+6 + 4n - 4\} = \frac{(2n-1)}{2} (4n^2-4n+2)$

$S(n) = (2n-1)(2n^2-2n+1) = 4n^3 - 4n^2 + 2n - 2n^2 + 2n - 1 = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

(3) 2013 が第何群の第何項か求める。

まず、 $2k-1 = 2013$ を満たす $k$ を求める。 $2k = 2014$ より $k = 1007$ である。

次に、第 $n$ 群までの項数の和が 1007 を超えない最大の $n$ を求める。

$n^2 < 1007$ を満たす最大の整数 $n$ を探す。

$31^2 = 961$, $32^2 = 1024$ であるから、$n = 31$ である。よって、2013は第32群にある。

第 31 群までの項数は $31^2 = 961$ である。よって、2013 は第 32 群の $(1007 - 961)$ 番目の項である。

$1007 - 961 = 46$ である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の初項：$2n^2 - 4n + 3$

(2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$：$4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

(3) 2013 は第 32 群の第 46 項