数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -1$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ で定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -1$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ で定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ は、隣接二項間の関係式なので、$n \ge 2$ のとき、次のように書き下すことができる。

$a_2 = a_1 + 2 \cdot 3^{1-1}$

$a_3 = a_2 + 2 \cdot 3^{2-1}$

$a_4 = a_3 + 2 \cdot 3^{3-1}$

...

$a_n = a_{n-1} + 2 \cdot 3^{n-2}$

これらの式をすべて足し合わせると、

$a_2 + a_3 + ... + a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2(3^0 + 3^1 + ... + 3^{n-2})$

左辺と右辺で共通の項を打ち消すと、

$a_n = a_1 + 2 \sum_{k=0}^{n-2} 3^k$

$a_1 = -1$ を代入すると、

$a_n = -1 + 2 \sum_{k=0}^{n-2} 3^k$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{m} r^k = \frac{1-r^{m+1}}{1-r}$ を用いると、

$\sum_{k=0}^{n-2} 3^k = \frac{1-3^{n-1}}{1-3} = \frac{1-3^{n-1}}{-2} = \frac{3^{n-1}-1}{2}$

したがって、

$a_n = -1 + 2 \cdot \frac{3^{n-1}-1}{2} = -1 + 3^{n-1} - 1 = 3^{n-1} - 2$

これは、$n \ge 2$ のとき成り立つ。$n=1$ のとき、 $a_1 = 3^{1-1} - 2 = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$ となり、与えられた条件 $a_1 = -1$ と一致する。

したがって、すべての $n \ge 1$ に対して、この式が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} - 2$