与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $a^2b^2 - a^2c^2$ (2) $(a^2-b^2)x^2 + (b^2-a^2)$ (3) $\frac{a^2}{16} - 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2b^2 - a^2c^2$

(2) $(a^2-b^2)x^2 + (b^2-a^2)$

(3) $\frac{a^2}{16} - 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a^2$ が共通因数なので、これでくくります。

$a^2b^2 - a^2c^2 = a^2(b^2 - c^2)$

$b^2 - c^2$ は平方の差なので、$b^2 - c^2 = (b+c)(b-c)$と因数分解できます。

よって、$a^2(b^2 - c^2) = a^2(b+c)(b-c)$

(2)

$(a^2-b^2)x^2 + (b^2-a^2) = (a^2-b^2)x^2 - (a^2-b^2)$

$a^2-b^2$ が共通因数なので、これでくくります。

$(a^2-b^2)x^2 - (a^2-b^2) = (a^2-b^2)(x^2-1)$

$a^2-b^2$ と $x^2-1$ はそれぞれ平方の差なので、以下のように因数分解できます。

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

$x^2-1 = (x+1)(x-1)$

よって、$(a^2-b^2)(x^2-1) = (a+b)(a-b)(x+1)(x-1)$

(3)

$\frac{a^2}{16} - 1 = (\frac{a}{4})^2 - 1^2$

これは平方の差なので、以下のように因数分解できます。

$(\frac{a}{4})^2 - 1^2 = (\frac{a}{4} + 1)(\frac{a}{4} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a^2(b+c)(b-c)$

(2) $(a+b)(a-b)(x+1)(x-1)$

(3) $(\frac{a}{4} + 1)(\frac{a}{4} - 1)$