与えられたベクトル集合 $W_2 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ が、$R^3$ の基底であるかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられたベクトル集合 $W_2 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ が、$R^3$ の基底であるかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

$R^3$ の基底となるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(1) 線形独立であること。

(2) $R^3$ を張ること（$R^3$ のすべてのベクトルが、その線形結合で表せること）。

まず、$W_2$ に含まれるベクトルが線形独立かどうかを調べます。

ベクトル集合に零ベクトルが含まれている場合、そのベクトル集合は必ず線形従属になります。なぜなら、零ベクトルは任意の係数でスカラー倍しても零ベクトルであり、他のベクトルの線形結合で表現できるからです。

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この方程式を満たす $c_1$, $c_2$, $c_3$ がすべて0の場合のみ、線形独立です。

しかし、$c_2$ は任意の値を取っても式は成立するため、線形従属です。

$W_2$ は線形従属であるため、$R^3$ の基底にはなり得ません。

線形独立でないので、$W_2$は$R^3$の基底ではありません。

$W_2$ が $R^3$ を張るかどうかを考える必要はありません。

3. 最終的な答え

A. $W_2$ is not a basis because it is linearly dependent.