3つのベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ が$\mathbb{R}^3$を張らないことを、これらのベクトルによって張られないベクトルを与えることで示す問題です。

1. 問題の内容

3つのベクトル

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

が$\mathbb{R}^3$を張らないことを、これらのベクトルによって張られないベクトルを与えることで示す問題です。

2. 解き方の手順

3つのベクトルが$\mathbb{R}^3$を張るかどうかは、これらのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式が0でないかどうかで判断できます。

行列式が0の場合、$\mathbb{R}^3$を張りません。

与えられたベクトルを列ベクトルとする行列を$A$とすると、

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

です。

行列$A$の行列式を計算します。

$\det(A) = 1(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1) - 1(2 \cdot 1 - 4 \cdot 1) + 1(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = 1(3-4) - 1(2-4) + 1(2-3) = -1 - (-2) + (-1) = -1 + 2 - 1 = 0$

行列式が0なので、これらの3つのベクトルは$\mathbb{R}^3$を張りません。これらのベクトルは線形従属です。

これらのベクトルによって張られないベクトルを求める必要があります。3つのベクトルはすべて $z=1$ の平面上にあります。したがって、z座標が1でないベクトルはこれらのベクトルによって張られません。

例えば $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ があります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$