3つのベクトル $\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{bmatrix} 22 \\ -4 \\ k \end{bmatrix}$ が $\mathbb{R}^3$ の基底をなすのは、$k \neq$ 何のときか。

1. 問題の内容

3つのベクトル

$\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{bmatrix} 22 \\ -4 \\ k \end{bmatrix}$

が $\mathbb{R}^3$ の基底をなすのは、$k \neq$ 何のときか。

2. 解き方の手順

3つのベクトルが $\mathbb{R}^3$ の基底をなすための必要十分条件は、これらのベクトルが線形独立であることです。線形独立であることは、これらのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式が0でないことと同値です。したがって、以下の行列の行列式を計算し、それが0となる $k$ の値を求めます。

$A = \begin{bmatrix} 7 & -3 & 22 \\ -3 & 4 & -4 \\ 0 & 4 & k \end{bmatrix}$

行列式は以下の通り計算できます。

$\det(A) = 7 \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 4 & k \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 0 & k \end{vmatrix} + 22 \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}$

$\det(A) = 7(4k - (-4)(4)) + 3(-3k - (-4)(0)) + 22((-3)(4) - (4)(0))$

$\det(A) = 7(4k + 16) + 3(-3k) + 22(-12)$

$\det(A) = 28k + 112 - 9k - 264$

$\det(A) = 19k - 152$

基底をなす条件は $\det(A) \neq 0$ であるので、

$19k - 152 \neq 0$

$19k \neq 152$

$k \neq \frac{152}{19}$

$k \neq 8$

3. 最終的な答え

$k \neq 8$