次の2つの方程式を解きます。 (1) $|x - 2| = 3x$ (2) $|x - 1| + |x - 2| = x$

1. 問題の内容

次の2つの方程式を解きます。

(1) $|x - 2| = 3x$

(2) $|x - 1| + |x - 2| = x$

2. 解き方の手順

(1) $|x - 2| = 3x$

絶対値の性質より、場合分けを行います。

(i) $x - 2 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき

$x - 2 = 3x$

$-2 = 2x$

$x = -1$

これは、$x \ge 2$ を満たさないので不適。

(ii) $x - 2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき

$-(x - 2) = 3x$

$-x + 2 = 3x$

$2 = 4x$

$x = \frac{1}{2}$

これは、$x < 2$ を満たす。

また、$3x \ge 0$ である必要があるので、$x \ge 0$ でなければならない。 $x = \frac{1}{2}$ は $x \ge 0$ を満たすので、解として適切。

(2) $|x - 1| + |x - 2| = x$

絶対値が2つあるので、場合分けを行います。

(i) $x < 1$ のとき

$-(x - 1) - (x - 2) = x$

$-x + 1 - x + 2 = x$

$-2x + 3 = x$

$3 = 3x$

$x = 1$

これは、$x < 1$ を満たさないので不適。

(ii) $1 \le x < 2$ のとき

$(x - 1) - (x - 2) = x$

$x - 1 - x + 2 = x$

$1 = x$

これは、$1 \le x < 2$ を満たすので適切。

(iii) $x \ge 2$ のとき

$(x - 1) + (x - 2) = x$

$2x - 3 = x$

$x = 3$

これは、$x \ge 2$ を満たすので適切。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x = 1, 3$