与えられた3つの式を簡単にせよという問題です。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を簡単にせよという問題です。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ の簡略化

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形を利用します。

$7+2\sqrt{10}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形に分解します。

$a+b = 7$ かつ $ab = 10$ となる $a, b$ を見つけます。

$a = 5, b = 2$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5\cdot2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ の簡略化

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ の形を利用します。

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$ と変形します。

$a+b = 12$ かつ $ab = 27$ となる $a, b$ を見つけます。

$a = 9, b = 3$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}| = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ の簡略化

二重根号の外に2を作るために、全体の式に$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$をかけます。

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形を利用します。

$a+b = 4$ かつ $ab = 3$ となる $a, b$ を見つけます。

$a = 3, b = 1$ が条件を満たします。

したがって、

$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3+1+2\sqrt{3\cdot1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$