$x$ と $y$ が以下の4つの不等式を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。 $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + 3y \le 12$, $2x + y \le 8$

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が以下の4つの不等式を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + 3y \le 12$, $2x + y \le 8$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域を図示します。

$x \ge 0$ より、$y$ 軸より右側。

$y \ge 0$ より、$x$ 軸より上側。

$2x + 3y \le 12$ を変形すると、$y \le -\frac{2}{3}x + 4$

$2x + y \le 8$ を変形すると、$y \le -2x + 8$

これらの不等式を全て満たす領域は、四角形になります。この四角形の頂点の座標を求めます。

(1) $x \ge 0$ と $y \ge 0$ の交点は $(0, 0)$

(2) $x \ge 0$ と $2x + y = 8$ の交点は $(0, 8)$

(3) $y \ge 0$ と $2x + 3y = 12$ の交点は $(6, 0)$

(4) $2x + 3y = 12$ と $2x + y = 8$ の交点を求めます。

2つの式を引き算すると、

$2y = 4$

$y = 2$

$2x + 2 = 8$

$2x = 6$

$x = 3$

交点は $(3, 2)$

したがって、領域の頂点は $(0, 0), (0, 4), (4, 0), (3, 2)$です。

$x + y = k$ とおきます。

$y = -x + k$ となり、これは傾きが $-1$, $y$ 切片が $k$ の直線を表します。

$k$ の値を最大にするのは、この直線が領域の頂点を通るときです。

各頂点での $x + y$ の値を計算します。

(0, 0) のとき、 $x + y = 0$

(0, 4) のとき、 $x + y = 4$

(4, 0) のとき、 $x + y = 4$

(3, 2) のとき、 $x + y = 5$

したがって、$x + y$ の最大値は 5 で、最小値は 0 です。

3. 最終的な答え

最大値: 5

最小値: 0