$3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

1. 問題の内容

$3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

係数を比較すると、以下のようになります。

$r\cos\alpha = 3$

$r\sin\alpha = -\sqrt{3}$

両辺をそれぞれ二乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = 3^2 + (-\sqrt{3})^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 9 + 3 = 12$

$r^2 = 12$

$r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ (∵ $r > 0$)

$r\cos\alpha = 3$ より $\cos\alpha = \frac{3}{r} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r\sin\alpha = -\sqrt{3}$ より $\sin\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$-\pi < \alpha < \pi$ の範囲で $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ です。

したがって、

$3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 6