画像に示された問題は以下の通りです。 (1) ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に対して、$\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルを求めなさい。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めなさい。 (3) $\vec{a}$ と $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ が垂直となるような $x$ を求めなさい。 (4) $\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}+\vec{p}$ が垂直となるような $x$ を求めなさい。 (5) $\vec{a}$ と $\vec{q} = \begin{pmatrix} s \\ \frac{1}{5} \\ t \end{pmatrix}$ が平行となるような $s, t$ を求めなさい。

1. 問題の内容

画像に示された問題は以下の通りです。

(1) ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に対して、$\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルを求めなさい。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めなさい。

(3) $\vec{a}$ と $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ が垂直となるような $x$ を求めなさい。

(4) $\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}+\vec{p}$ が垂直となるような $x$ を求めなさい。

(5) $\vec{a}$ と $\vec{q} = \begin{pmatrix} s \\ \frac{1}{5} \\ t \end{pmatrix}$ が平行となるような $s, t$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルを求める。

まず、$\vec{b}$ の大きさ $||\vec{b}||$ を計算する。

$||\vec{b}|| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + 1 + 1} = \sqrt{\frac{22}{9}} = \frac{\sqrt{22}}{3}$

$\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルは $-\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||} = -\frac{3}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{22}} \\ -\frac{3}{\sqrt{22}} \\ \frac{3}{\sqrt{22}} \end{pmatrix}$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| ||\vec{b}||}$ を用いる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = \frac{2}{9} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{4 - 9 - 18}{18} = -\frac{23}{18}$

$||\vec{a}|| = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 36}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$

$\cos\theta = \frac{-\frac{23}{18}}{\frac{7}{6} \cdot \frac{\sqrt{22}}{3}} = \frac{-\frac{23}{18}}{\frac{7\sqrt{22}}{18}} = -\frac{23}{7\sqrt{22}} = -\frac{23\sqrt{22}}{7 \cdot 22} = -\frac{23\sqrt{22}}{154}$

$\theta = \arccos(-\frac{23\sqrt{22}}{154}) \approx 128.9^{\circ}$　(電卓使用)

(3) $\vec{a}$ と $\vec{p}$ が垂直となるような $x$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ を満たす $x$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{p} = \frac{1}{3}x - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = 0$

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3 - 4}{6} = -\frac{1}{6}$

$x = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

(4) $\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}+\vec{p}$ が垂直となるような $x$ を求める。

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{2} + 1 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{a} + \vec{p} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + x \\ -\frac{1}{2} + 1 \\ 1 + \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{p}) = 0$

$1 \cdot (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{5}{3} = 0$

$x + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 0$

$x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = -\frac{4 + 3}{12} = -\frac{7}{12}$

(5) $\vec{a}$ と $\vec{q}$ が平行となるような $s, t$ を求める。

$\vec{q} = k\vec{a}$ となる $k$ が存在するとき、$\vec{a}$ と $\vec{q}$ は平行である。

$\begin{pmatrix} s \\ \frac{1}{5} \\ t \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{k}{3} \\ -\frac{k}{2} \\ k \end{pmatrix}$

$\frac{1}{5} = -\frac{k}{2}$ より、 $k = -\frac{2}{5}$

$s = \frac{k}{3} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}$

$t = k = -\frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{22}} \\ -\frac{3}{\sqrt{22}} \\ \frac{3}{\sqrt{22}} \end{pmatrix}$

(2) $\arccos(-\frac{23\sqrt{22}}{154}) \approx 128.9^{\circ}$

(3) $x = -\frac{1}{2}$

(4) $x = -\frac{7}{12}$

(5) $s = -\frac{2}{15}, t = -\frac{2}{5}$