高さ $h$ の位置から質量 $m_A$ の小物体Aを静かに放すと同時に、地面から質量 $m_B$ の小物体Bを鉛直上方に速さ $v_0$ で投げ上げたところ、二つの小物体は同時に地面に到達した。重力加速度を $g$ とする。 (1) 小物体AとBの速度をそれぞれ $v_A$, $v_B$ として運動方程式を立てる。 (2) 時刻 $t$ における、小物体AとBの速度 $v_A$, $v_B$ を求める。 (3) 時刻 $t$ における、小物体AとBの位置 $x_A$, $x_B$ を求める。 (4) $v_0$ を $h$ でどのように表されるか（同時に地面に到達したという条件を考える）。

1. 問題の内容

高さ $h$ の位置から質量 $m_A$ の小物体Aを静かに放すと同時に、地面から質量 $m_B$ の小物体Bを鉛直上方に速さ $v_0$ で投げ上げたところ、二つの小物体は同時に地面に到達した。重力加速度を $g$ とする。

(1) 小物体AとBの速度をそれぞれ $v_A$, $v_B$ として運動方程式を立てる。

(2) 時刻 $t$ における、小物体AとBの速度 $v_A$, $v_B$ を求める。

(3) 時刻 $t$ における、小物体AとBの位置 $x_A$, $x_B$ を求める。

(4) $v_0$ を $h$ でどのように表されるか（同時に地面に到達したという条件を考える）。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式を立てる。

小物体A：鉛直下向きを正とすると、

$m_A \frac{dv_A}{dt} = m_A g$

小物体B：鉛直上向きを正とすると、

$m_B \frac{dv_B}{dt} = -m_B g$

(2) 時刻 $t$ における速度を求める。

小物体A：

$\frac{dv_A}{dt} = g$

$v_A = \int g dt = gt + C_1$

初期条件 $v_A(0) = 0$ より $C_1 = 0$

$v_A = gt$

小物体B：

$\frac{dv_B}{dt} = -g$

$v_B = \int -g dt = -gt + C_2$

初期条件 $v_B(0) = v_0$ より $C_2 = v_0$

$v_B = v_0 - gt$

(3) 時刻 $t$ における位置を求める。

小物体A：鉛直下向きを正とし、初期位置を $h$ とすると、

$\frac{dx_A}{dt} = v_A = gt$

$x_A = \int gt dt = \frac{1}{2}gt^2 + C_3$

初期条件 $x_A(0) = h$ より $C_3 = h$

$x_A = \frac{1}{2}gt^2 + h$

地面を $x_A = 0$ とすると、初期位置からの変位は $h - x_A = h - (\frac{1}{2}gt^2 + h) = - \frac{1}{2} gt^2$ となり、

地面からの高さとして位置を定義すると、$x_A = h - \frac{1}{2}gt^2$ となる。

小物体B：鉛直上向きを正とし、初期位置を $0$ とすると、

$\frac{dx_B}{dt} = v_B = v_0 - gt$

$x_B = \int (v_0 - gt) dt = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 + C_4$

初期条件 $x_B(0) = 0$ より $C_4 = 0$

$x_B = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

(4) 同時に地面に到達したという条件から $v_0$ を求める。

小物体Aが地面に到達する時刻 $t_A$ は、$x_A = 0$ となる時刻なので、

$h - \frac{1}{2}gt_A^2 = 0$

$\frac{1}{2}gt_A^2 = h$

$t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

小物体Bが地面に到達する時刻 $t_B$ は、$x_B = 0$ となる時刻なので、

$v_0 t_B - \frac{1}{2}gt_B^2 = 0$

$t_B (v_0 - \frac{1}{2}gt_B) = 0$

$t_B = 0$ または $v_0 = \frac{1}{2}gt_B$

$t_B = \frac{2v_0}{g}$

同時に地面に到達するので、$t_A = t_B$

$\sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{2v_0}{g}$

$v_0 = \frac{g}{2} \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{\sqrt{2gh}}{2} = \sqrt{\frac{gh}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) 小物体A: $m_A \frac{dv_A}{dt} = m_A g$

小物体B: $m_B \frac{dv_B}{dt} = -m_B g$

(2) 小物体A: $v_A = gt$

小物体B: $v_B = v_0 - gt$

(3) 小物体A: $x_A = h - \frac{1}{2}gt^2$

小物体B: $x_B = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

(4) $v_0 = \sqrt{\frac{gh}{2}}$