ベクトルの大きさの2乗の和 $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 15$ と、ベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ が与えられたとき、$|\vec{a} - \vec{b}|$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトルの大きさの2乗の和 $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 15$ と、ベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ が与えられたとき、$|\vec{a} - \vec{b}|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算します。ベクトルの内積の性質を使うと、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

与えられた条件 $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 15$ と $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ を代入すると、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 15 - 2(3) = 15 - 6 = 9$

したがって、$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{9} = 3$

3. 最終的な答え

$|\vec{a} - \vec{b}| = 3$