$x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+3y \leq 12$, $2x+y \leq 8$ を満たすとき、次の式の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $x+y$ (2) $\frac{x}{3} + y$ (3) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+3y \leq 12$, $2x+y \leq 8$ を満たすとき、次の式の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $x+y$

(2) $\frac{x}{3} + y$

(3) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域をグラフに図示します。

次に、それぞれの式について、領域内の端点における値を計算し、最大値と最小値を求めます。

領域の端点を求める：

(1) $x = 0$ と $y = 0$ の交点: $(0, 0)$

(2) $x = 0$ と $2x + 3y = 12$ の交点: $2(0) + 3y = 12 \Rightarrow y = 4$. よって $(0, 4)$

(3) $y = 0$ と $2x + y = 8$ の交点: $2x + 0 = 8 \Rightarrow x = 4$. よって $(4, 0)$

(4) $2x + 3y = 12$ と $2x + y = 8$ の交点:

$2x + 3y = 12$ と $2x + y = 8$ の差を取ると $2y = 4 \Rightarrow y = 2$.

$2x + 2 = 8 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. よって $(3, 2)$

それぞれの式について、端点における値を計算します。

(1) $x + y$

- $(0, 0): 0 + 0 = 0$

- $(0, 4): 0 + 4 = 4$

- $(4, 0): 4 + 0 = 4$

- $(3, 2): 3 + 2 = 5$

よって、最大値は5、最小値は0。

(2) $\frac{x}{3} + y$

- $(0, 0): \frac{0}{3} + 0 = 0$

- $(0, 4): \frac{0}{3} + 4 = 4$

- $(4, 0): \frac{4}{3} + 0 = \frac{4}{3}$

- $(3, 2): \frac{3}{3} + 2 = 1 + 2 = 3$

よって、最大値は4、最小値は0。

(3) $x^2 + y^2$

- $(0, 0): 0^2 + 0^2 = 0$

- $(0, 4): 0^2 + 4^2 = 16$

- $(4, 0): 4^2 + 0^2 = 16$

- $(3, 2): 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

よって、最大値は16、最小値は0。

3. 最終的な答え

(1) $x+y$

- 最大値: 5

- 最小値: 0

(2) $\frac{x}{3} + y$

- 最大値: 4

- 最小値: 0

(3) $x^2 + y^2$

- 最大値: 16

- 最小値: 0