三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をDとするとき、等式 $2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をDとするとき、等式 $2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、点Bを原点とし、点Cがx軸上にあるように座標を設定します。

すると、点Bの座標は(0, 0)、点Cの座標は(3c, 0) (c > 0) と表せます。

点Aの座標を(x, y)とします。

点Dは辺BCを1:2に内分するので、点Dの座標は (c, 0) となります。

これらの座標を用いて、それぞれの辺の長さを計算します。

$AB^2 = x^2 + y^2$

$AC^2 = (x - 3c)^2 + y^2 = x^2 - 6cx + 9c^2 + y^2$

$AD^2 = (x - c)^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

$BD^2 = c^2$

与えられた等式 $2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ の左辺を計算します。

$2AB^2 + AC^2 = 2(x^2 + y^2) + (x^2 - 6cx + 9c^2 + y^2) = 3x^2 - 6cx + 9c^2 + 3y^2$

与えられた等式の右辺を計算します。

$3(AD^2 + 2BD^2) = 3((x^2 - 2cx + c^2 + y^2) + 2c^2) = 3(x^2 - 2cx + 3c^2 + y^2) = 3x^2 - 6cx + 9c^2 + 3y^2$

左辺と右辺が等しいことを確認します。

$3x^2 - 6cx + 9c^2 + 3y^2 = 3x^2 - 6cx + 9c^2 + 3y^2$

したがって、$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つことが証明された。