$x, y$ は実数とする。次の条件の否定を述べよ。 (1) $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ (2) $x = 0$ または $y = 0$ (3) $x, y$ はともに有理数

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。次の条件の否定を述べよ。

(1) $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$

(2) $x = 0$ または $y = 0$

(3) $x, y$ はともに有理数

2. 解き方の手順

(1) 「$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$」の否定は、「$x \geq 0$」の否定である「$x < 0$」と、「$y \geq 0$」の否定である「$y < 0$」を「または」で結んだものになる。

よって、$x < 0$ または $y < 0$ となる。

(2) 「$x = 0$ または $y = 0$」の否定は、「$x = 0$」の否定である「$x \neq 0$」と、「$y = 0$」の否定である「$y \neq 0$」を「かつ」で結んだものになる。

よって、$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ となる。

(3) 「$x, y$ はともに有理数」の否定は、「$x$ が有理数」の否定である「$x$ が無理数」と、「$y$ が有理数」の否定である「$y$ が無理数」を考慮する。

この条件の否定は、$x$ または $y$ の少なくとも一方が無理数である、ということになる。

よって、$x$ が無理数 または $y$ が無理数 となる。

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ または $y < 0$

(2) $x \neq 0$ かつ $y \neq 0$

(3) $x$ が無理数 または $y$ が無理数