与えられた複素数の足し算 $\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた複素数の足し算 $\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を実数化します。つまり、分母の共役複素数を分母分子にかけます。

$\frac{3-i}{1-i} = \frac{(3-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3 + 3i - i - i^2}{1 - i^2} = \frac{3 + 2i + 1}{1 + 1} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$

$\frac{3+i}{1+i} = \frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3 - 3i + i - i^2}{1 - i^2} = \frac{3 - 2i + 1}{1 + 1} = \frac{4-2i}{2} = 2-i$

次に、これらの結果を足し合わせます。

$(2+i) + (2-i) = 2 + i + 2 - i = 4$

3. 最終的な答え

$4$