三角形ABCと点Pが $3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+5\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ を満たしているとき、以下の問いに答える。 (1) 点Pはどのような位置にあるか。 (2) $\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$ の面積の比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pが $3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+5\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ を満たしているとき、以下の問いに答える。

(1) 点Pはどのような位置にあるか。

(2) $\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$ の面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PA}$ を $\overrightarrow{AP}$ などに書き換えて、始点をAに揃える。

$3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+5\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ より、

$-3\overrightarrow{AP}+4(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+5(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{0}$

$-3\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AP}+5\overrightarrow{AC}-5\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{AP} = 4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{12} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{4+5} \cdot \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\left(\frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{9}\right)$

線分BCを $5:4$ に内分する点をDとすると、

$\overrightarrow{AD}=\frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{9}$ となるので、

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$

よって、点Pは線分ADを $3:1$ に内分する点である。

すなわち、点Pは線分BCを $5:4$ に内分する点をDとしたとき、線分ADを $3:1$ に内分する点。

(2) $\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$ の面積比を求める。

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{12}$ より、

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$

$3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+5\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ を変形すると、

$3\overrightarrow{PA} = -4\overrightarrow{PB}-5\overrightarrow{PC}$

$3|\overrightarrow{PA}| = |-4\overrightarrow{PB}-5\overrightarrow{PC}|$

$3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$

面積比は $S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB} = 3:4:5$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは、線分BCを $5:4$ に内分する点をDとしたとき、線分ADを $3:1$ に内分する点。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 5:4:3$