$\theta$ は鈍角であるとき、$\cos\theta = -\frac{3}{4}$ のときの $\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ は鈍角であるとき、$\cos\theta = -\frac{3}{4}$ のときの $\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して $\sin\theta$ を求める。

$\cos\theta = -\frac{3}{4}$ を代入すると、

$$\sin^2\theta + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1$$

$$\sin^2\theta + \frac{9}{16} = 1$$

$$\sin^2\theta = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$

$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\theta$ は鈍角なので、$\sin\theta > 0$ であるから、

$$\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて $\tan\theta$ を求める。

$$\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{\sqrt{7}}{3}$$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$