三角形ABCにおいて、辺BCの中点をD、辺CAの中点をEとする。ADとBEの交点をF、線分AFの中点をG、CGとBEの交点をHとする。BE=9のとき、線分FEの長さと線分FHの長さをそれぞれ求めよ。

## 問題3

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCの中点をD、辺CAの中点をEとする。ADとBEの交点をF、線分AFの中点をG、CGとBEの交点をHとする。BE=9のとき、線分FEの長さと線分FHの長さをそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分FEの長さ

まず、点Fは三角形ABCの重心である。重心は中線を2:1に内分するので、$BF:FE = 2:1$となる。

BE=9であるから、$FE = \frac{1}{3}BE = \frac{1}{3} \times 9 = 3$

(2) 線分FHの長さ

点Hは三角形AFCの重心である。したがって、$CH:HG=2:1$であり、$EH:HB=1:2$である。

BE=9なので、$BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3} \times 9 = 6$となる。

また、$EH = \frac{1}{3}BE = \frac{1}{3} \times 9 = 3$となる。

$FH = BH - BF$である。$BF = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3} \times 9 = 6$である。

よって、$FH = BH - BF = 6-6=0$．これはおかしい。

改めて考える。三角形BECにおいて、Hは重心であるから、$EH:HC=1:2$である。

BE=9なので、$EH = \frac{1}{3} BE = \frac{1}{3} \times 9 = 3$

したがって、$FH = BE - BF - EH = 9 - 6 - 3 = 0$．これはおかしい。

点Hは三角形AFCの重心であるので、$EH:HC=1:2$となる。

$BE = 9$で、Fは重心なので、$BF = \frac{2}{3} BE = 6$であり、$FE = \frac{1}{3} BE = 3$。

三角形AFCにおいて、EはACの中点であり、点Hは線分CE上にある。

点Hは重心であるから、CH:HE=2:1である。

したがって、HE=1/3 CEである。

$EH = 3$であり、$BH+HE = BE=9$、つまり$BH=6$である。

点Hは、線分CG上の点である。

$\triangle CFE$において、Hは重心となるため、$FH:HF'=1:2$となる。

ここで、F'はCGとFEの交点であるが、FはADとBEの交点でもあるから、点Fと点F'は同一である。

点Fは△ABCの重心であり、BE=9より、BF=6, FE=3

点Hは△AFCの重心である。よって、HE:HC=1:

2.　BE=9より、HE=3なので、BH=BE-HE=9-3=6。

BEは中線なので、CGも中線。Hは△AFCの重心であるから、FH:HE=1:2。HE=3なのでFH=1.5

3. 最終的な答え

(1) 線分FE = 3

(2) 線分FH = 1.5

## 問題4

1. 問題の内容

三角形ABCの外心をOとするとき、与えられた図の角αとβを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) αとβを求める

外心は三角形の各頂点からの距離が等しい。つまり、OA=OBであるから、三角形OABは二等辺三角形である。したがって、$∠OAB = ∠OBA = \beta$である。

三角形OBCも二等辺三角形なので、$∠OBC = ∠OCB = \alpha$

三角形ABCの内角の和は180度なので、$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180^\circ$。

つまり、$(\beta+30^\circ) + (\alpha+\angle ABO) + (\angle ACO+40^\circ) = 180^\circ$。

$∠AOB = 2∠ACB = 2(40^\circ) = 80^\circ$。したがって、$2\beta + 80^\circ = 180^\circ$なので、$2\beta = 100^\circ$、$\beta = 50^\circ$。

$∠BOC = 2∠BAC = 2(30^\circ) = 60^\circ$。したがって、$2\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$なので、$\alpha = 60^\circ$。

(2) αとβを求める

同様に、三角形OBCは二等辺三角形なので、$∠OBC=∠OCB=35^\circ$。したがって、$∠BOC=180^\circ-2 \times 35^\circ = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$。

外心の性質から、$∠BAC = \frac{1}{2} ∠BOC = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ$。したがって、$\alpha = 55^\circ-25^\circ = 30^\circ$。

三角形OABも二等辺三角形なので、$∠OBA=∠OAB=25^\circ$。したがって、$∠AOB=180^\circ-2 \times 25^\circ = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$。

外心の性質から、$∠ACB = \frac{1}{2} ∠AOB = \frac{1}{2} \times 130^\circ = 65^\circ$。

三角形OACも二等辺三角形なので、$∠OCA=∠OAC = \beta$。$∠BCA=35^\circ = ∠BCO + ∠OCA$。

$\beta$を求める。$∠BCA = ∠BCO + ∠OCA = 35^\circ+\beta = \frac{1}{2} \times 130^\circ = 65^\circ$。したがって$\beta = 65^\circ -35^\circ = 30^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) α = 60, β = 50

(2) α = 30, β = 30