直方体において、AD=AE=1, EF=$\sqrt{3}$が与えられている。 (1) 辺BFと直交する辺を求める。 (2) 次の2直線のなす角$\theta$ ($0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$) を求める。 (1) ABとFG (2) AEとBG (3) AFとCD

1. 問題の内容

直方体において、AD=AE=1, EF=$\sqrt{3}$が与えられている。

(1) 辺BFと直交する辺を求める。

(2) 次の2直線のなす角$\theta$ ($0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$) を求める。

(1) ABとFG

(2) AEとBG

(3) AFとCD

2. 解き方の手順

(1) 辺BFと直交する辺について、直方体の定義より、隣接する辺で面に対して垂直な辺が直交する。したがって、BFと直交する辺は、AB, BC, EF, FGである。

(2)

(1) ABとFGについて、ABとFGは平行なので、なす角は0°である。

(2) AEとBGについて、AEベクトルを$\vec{a}$、BGベクトルを$\vec{b}$とすると、

$\vec{a} = (0, 0, 1)$、BGベクトルは、BF + FGで表現できるから、$\vec{b} = (\sqrt{3}, 1, 0)$

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0* \sqrt{3} + 0*1 + 1*0 = 0$

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{0}{1*2} = 0$

よって、$\theta = 90^\circ$

(3) AFとCDについて、CDとABは平行なので、AFとABのなす角を考える。

AFベクトルは、AE + EFで表現できるから、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1, 0)$、ABベクトルを$\vec{b}$とすると$\vec{b} = (0, 1, 0)$

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3+1} = 2$, $|\vec{b}| = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}*0 + 1*1 + 0*0 = 1$

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{2*1} = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) AB, BC, EF, FG

(2)

(1) 0°

(2) 90°

(3) 60°