三角形ABCの外心をOとするとき、図の角$\alpha$と$\beta$の値を(1)と(2)それぞれについて求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心をOとするとき、図の角$\alpha$と$\beta$の値を(1)と(2)それぞれについて求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

外心Oは三角形ABCの外接円の中心なので、OA = OB = OC が成り立ちます。

したがって、三角形OABと三角形OACは二等辺三角形です。

三角形OABについて、OA=OBより$\angle OAB = \angle OBA = \beta$。

三角形OACについて、OA=OCより$\angle OAC = \angle OCA = 30^\circ$。

$\angle ACB = 40^\circ$より$\angle OCB = \angle ACB - \angle OCA = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ$

三角形OBCについて、OB = OCより$\angle OBC = \angle OCB = 10^\circ$

したがって、$\alpha = \angle OBC = 10^\circ$

また、$\angle BAC = \beta + 30^\circ$。三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$

$\alpha + \angle OBC + 40^\circ + \beta + 30^\circ = 180^\circ$

$\beta + 10^\circ + 40^\circ + 30^\circ = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

(2)

外心Oは三角形ABCの外接円の中心なので、OA = OB = OC が成り立ちます。

したがって、三角形OABと三角形OAC、三角形OBCは二等辺三角形です。

三角形OABについて、OA=OBより$\angle OAB = \angle OBA = 25^\circ$。よって、$\alpha=25^\circ$

三角形OACについて、OA=OCより$\angle OAC = \angle OCA = 35^\circ$

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 25^\circ + 35^\circ = 60^\circ$

三角形OBCについて、OB=OCより$\angle OBC = \angle OCB$

$\angle ABC = 25^\circ + \angle OBC$

$\angle ACB = 35^\circ + \angle OCB$

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$60^\circ + 25^\circ + \angle OBC + 35^\circ + \angle OCB = 180^\circ$

$\angle OBC = \angle OCB$を使うと

$60^\circ + 25^\circ + 35^\circ + 2 \angle OBC = 180^\circ$

$120^\circ + 2\angle OBC = 180^\circ$

$2 \angle OBC = 60^\circ$

$\angle OBC = 30^\circ$

三角形OBCの内角の和を考えると

$\angle BOC + 2 \angle OBC = 180^\circ$

$\angle BOC = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ$

$\beta = \angle BOC = 120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 10^\circ$, $\beta = 100^\circ$

(2) $\alpha = 25^\circ$, $\beta = 120^\circ$