$\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$の面積比を求めます。$\vec{AP} = \frac{4\vec{AB}+5\vec{AC}}{12}$を変形すると、$3\vec{AP}+4\vec{BP}+5\vec{CP}=\vec{0}$となります。この式から、$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=3:4:5$となる理由を説明します。

1. 問題の内容

$\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$の面積比を求めます。$\vec{AP} = \frac{4\vec{AB}+5\vec{AC}}{12}$を変形すると、$3\vec{AP}+4\vec{BP}+5\vec{CP}=\vec{0}$となります。この式から、$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=3:4:5$となる理由を説明します。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形していきます。

まず、$3\vec{AP}+4\vec{BP}+5\vec{CP}=\vec{0}$を変形します。

$\vec{BP}=\vec{AP}-\vec{AB}$

$\vec{CP}=\vec{AP}-\vec{AC}$

を代入すると、

$3\vec{AP}+4(\vec{AP}-\vec{AB})+5(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{0}$

$3\vec{AP}+4\vec{AP}-4\vec{AB}+5\vec{AP}-5\vec{AC}=\vec{0}$

$12\vec{AP}=4\vec{AB}+5\vec{AC}$

$\vec{AP}=\frac{4\vec{AB}+5\vec{AC}}{12}$

ここで、$\vec{AP}=s\vec{AB}+t\vec{AC}$と表すことができて、$s+t=1$のとき、点Pは直線BC上にある。

$\vec{AP}=\frac{4\vec{AB}+5\vec{AC}}{12}=\frac{9}{12}(\frac{4\vec{AB}+5\vec{AC}}{9})$

$\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$

よって、$\vec{AD}=\frac{4\vec{AB}+5\vec{AC}}{9}$とすると、Dは直線BC上の点である。$\vec{AP}=\frac{9}{12}\vec{AD}=\frac{3}{4}\vec{AD}$より、Pは線分ADを3:1に内分する点である。

次に、$\triangle ABC$を考えます。

$3\vec{AP}+4\vec{BP}+5\vec{CP}=\vec{0}$を変形して、

$3\vec{AP}+4(\vec{AP}-\vec{AB})+5(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{0}$

$12\vec{AP}=4\vec{AB}+5\vec{AC}$

$\vec{AP}=\frac{4}{12}\vec{AB}+\frac{5}{12}\vec{AC}$

$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = a:b:c$とすると、$\vec{AP} = \frac{a\vec{A}+b\vec{B}+c\vec{C}}{a+b+c}$となる。

ここで、Aを始点とすると、

$\vec{AP} = \frac{b\vec{AB}+c\vec{AC}}{a+b+c}$となる。

今回の問題では、

$\vec{AP}=\frac{4\vec{AB}+5\vec{AC}}{12}$より、$\triangle PBC = 3,\triangle PCA=4,\triangle PAB=5$となる。

$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = 3:4:5$

3. 最終的な答え

$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = 3:4:5$