$\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$ の面積比を求める問題です。 $\vec{AP} = \frac{4\vec{AB} + 5\vec{AC}}{12}$ を変形して、$3\vec{AP} + 4\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$ となることが与えられています。この式から $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 3 : 4 : 5$ となる理由を説明します。

1. 問題の内容

$\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$ の面積比を求める問題です。

$\vec{AP} = \frac{4\vec{AB} + 5\vec{AC}}{12}$ を変形して、$3\vec{AP} + 4\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$ となることが与えられています。この式から $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 3 : 4 : 5$ となる理由を説明します。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトル方程式 $3\vec{AP} + 4\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$ を変形します。

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}$ のように、始点を $O$ に揃えることを考えます。今回は点 $P$ を基準にすると計算が楽になります。

$\vec{AP} = -\vec{PA}$, $\vec{BP} = -\vec{PB}$, $\vec{CP} = -\vec{PC}$ を代入すると、

$-3\vec{PA} - 4\vec{PB} - 5\vec{PC} = \vec{0}$

$3\vec{PA} + 4\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$

$3\vec{PA} + 4\vec{PB} = -5\vec{PC}$

$3\vec{PA} + 4\vec{PB} = 7 \cdot \frac{3\vec{PA} + 4\vec{PB}}{7}$

点 $D$ を $3\vec{PA} + 4\vec{PB} = 7\vec{PD}$ を満たす点とすると、$\vec{PD} = \frac{3\vec{PA} + 4\vec{PB}}{7}$ です。

このとき、点 $D$ は線分 $AB$ を $4 : 3$ に内分する点です。

すると、$7\vec{PD} = -5\vec{PC}$ より、$\vec{PC} = -\frac{7}{5} \vec{PD}$ となります。

これは、$P$, $C$, $D$ が同一直線上にあり、$PC : CD = 7 : 5$ となることを意味します。

次に、面積比を考えます。

$\triangle PAB = \frac{1}{2} | \vec{PA} \times \vec{PB} |$

$\triangle PBC = \frac{1}{2} | \vec{PB} \times \vec{PC} |$

$\triangle PCA = \frac{1}{2} | \vec{PC} \times \vec{PA} |$

ここで、$3\vec{PA} + 4\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$ より、

$\vec{PA} = -\frac{4}{3}\vec{PB} - \frac{5}{3}\vec{PC}$

$\vec{PB} = -\frac{3}{4}\vec{PA} - \frac{5}{4}\vec{PC}$

$\vec{PC} = -\frac{3}{5}\vec{PA} - \frac{4}{5}\vec{PB}$

$\triangle PBC$ の面積は、$\frac{1}{2} |\vec{PB} \times \vec{PC}|$ ですが、$PC:CD=5:7$より、$\triangle PBC = \frac{5}{12} \triangle ABC$.

また $AD:DB = 4:3$より$\triangle PCA = \frac{4}{12} \triangle ABC$と$\triangle PAB = \frac{3}{12} \triangle ABC$が言えます。

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 3 : 4 : 5$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 4:5:3$