複素数の計算問題です。具体的には、$\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。具体的には、$\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を分母の共役複素数を掛けることで実数化します。

1つ目の分数:

$\frac{2-i}{3+i}$ の分母の共役複素数は $3-i$ なので、分子と分母に $3-i$ を掛けます。

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 + 1} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{1 - i}{2}$

2つ目の分数:

$\frac{5+10i}{1-3i}$ の分母の共役複素数は $1+3i$ なので、分子と分母に $1+3i$ を掛けます。

$\frac{5+10i}{1-3i} = \frac{(5+10i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{5 + 15i + 10i + 30i^2}{1 - (3i)^2} = \frac{5 + 25i - 30}{1 + 9} = \frac{-25 + 25i}{10} = \frac{-5 + 5i}{2}$

次に、これらの結果を使って元の式を計算します。

$\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i} = \frac{1-i}{2} - \frac{-5+5i}{2} = \frac{1-i - (-5+5i)}{2} = \frac{1-i+5-5i}{2} = \frac{6 - 6i}{2} = 3 - 3i$

3. 最終的な答え

$3 - 3i$