$\sqrt{50n}$ が整数となるような、 $0 < n < 100$ を満たす整数 $n$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{50n}$ が整数となるような、 $0 < n < 100$ を満たす整数 $n$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{50n}$ が整数になるためには、$50n$ がある整数の2乗である必要があります。

まず、$50$ を素因数分解します。

$50 = 2 \times 5^2$

したがって、

$\sqrt{50n} = \sqrt{2 \times 5^2 \times n}$

$\sqrt{50n}$ が整数になるためには、$n$ が $2 \times k^2$ （$k$ は整数）の形で表される必要があります。

$n = 2k^2$

また、$0 < n < 100$ という条件があるので、

$0 < 2k^2 < 100$

$0 < k^2 < 50$

これを満たす整数 $k$ は、

$k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

したがって、$n$ の値は、

$n = 2(1^2) = 2$

$n = 2(2^2) = 8$

$n = 2(3^2) = 18$

$n = 2(4^2) = 32$

$n = 2(5^2) = 50$

$n = 2(6^2) = 72$

$n = 2(7^2) = 98$

3. 最終的な答え

$n = 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98$