不等式 $|x| + |x-1| \le 3x$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x| + |x-1| \le 3x$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値が含まれているため、場合分けをして考えます。

(i) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$, $|x-1| = -(x-1) = -x + 1$ であるから、

$$-x - x + 1 \le 3x$$

$$-2x + 1 \le 3x$$

$$1 \le 5x$$

$$x \ge \frac{1}{5}$$

これは$x < 0$を満たさないため、この場合は解なしです。

(ii) $0 \le x < 1$ のとき

$|x| = x$, $|x-1| = -(x-1) = -x + 1$ であるから、

$$x - x + 1 \le 3x$$

$$1 \le 3x$$

$$x \ge \frac{1}{3}$$

$0 \le x < 1$との共通範囲は、$\frac{1}{3} \le x < 1$ です。

(iii) $x \ge 1$ のとき

$|x| = x$, $|x-1| = x - 1$ であるから、

$$x + x - 1 \le 3x$$

$$2x - 1 \le 3x$$

$$-1 \le x$$

$x \ge 1$との共通範囲は、$x \ge 1$ です。

(i),(ii),(iii)より、解は

$\frac{1}{3} \le x < 1$または$x \ge 1$

これらを合わせると$x \ge \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$x \ge \frac{1}{3}$