直線 $y = 2x + 1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点 $(a, b)$ の $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点 $(a, b)$ の $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $(3, 1)$ と点 $(a, b)$ が直線 $y = 2x + 1$ に関して線対称であるための条件は、

(1) 2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を結ぶ直線が、直線 $y = 2x + 1$ と垂直であること。

(2) 2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ の中点が、直線 $y = 2x + 1$ 上にあること。

これらの条件から $a$ と $b$ を求めます。

(1)について：

2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{b - 1}{a - 3}$ です。

直線 $y = 2x + 1$ の傾きは $2$ です。

2つの直線が垂直である条件は、傾きの積が $-1$ であることなので、

$\frac{b - 1}{a - 3} \cdot 2 = -1$

$2(b - 1) = -(a - 3)$

$2b - 2 = -a + 3$

$a + 2b = 5$ ...(1)

(2)について：

2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ の中点は $(\frac{3 + a}{2}, \frac{1 + b}{2})$ です。

この中点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、

$\frac{1 + b}{2} = 2 \cdot \frac{3 + a}{2} + 1$

$1 + b = 2(3 + a) + 2$

$1 + b = 6 + 2a + 2$

$b = 2a + 7$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(2)を(1)に代入して、

$a + 2(2a + 7) = 5$

$a + 4a + 14 = 5$

$5a = -9$

$a = -\frac{9}{5}$

これを(2)に代入して、

$b = 2(-\frac{9}{5}) + 7$

$b = -\frac{18}{5} + \frac{35}{5}$

$b = \frac{17}{5}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{9}{5}$, $b = \frac{17}{5}$