ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ x \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ s+t \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の問題を解く。 (1) $\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルを求める。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。 (3) $\vec{a} \perp \vec{p}$ となるような $x$ を求める。 (4) $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} + \vec{p})$ となるような $x$ を求める。 (5) $\vec{a} // \vec{q}$ となるような $s, t$ を求める。

はい、承知しました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ x \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ s+t \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の問題を解く。

(1) $\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルを求める。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

(3) $\vec{a} \perp \vec{p}$ となるような $x$ を求める。

(4) $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} + \vec{p})$ となるような $x$ を求める。

(5) $\vec{a} // \vec{q}$ となるような $s, t$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{b}$ の単位ベクトルは $\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ で与えられる。

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

よって、$\vec{b}$ の単位ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ である。

$\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルは $-\frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/\sqrt{14} \\ 1/\sqrt{14} \\ -2/\sqrt{14} \end{pmatrix}$ である。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ で与えられる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) + (3)(2) = 3 - 2 + 6 = 7$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{14}$ (上記参照)

$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = 60^\circ$ である。

(3) $\vec{a} \perp \vec{p}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ である。

$\vec{a} \cdot \vec{p} = (1)(x) + (2)(x) + (3)(1) = x + 2x + 3 = 3x + 3 = 0$

$3x = -3$

$x = -1$

(4) $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} + \vec{p})$ のとき、$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{p}) = 0$ である。

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1+3 \\ 2-1 \\ 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\vec{a} + \vec{p} = \begin{pmatrix} 1+x \\ 2+x \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+x \\ 2+x \\ 4 \end{pmatrix}$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{p}) = (4)(1+x) + (1)(2+x) + (5)(4) = 4 + 4x + 2 + x + 20 = 5x + 26 = 0$

$5x = -26$

$x = -\frac{26}{5}$

(5) $\vec{a} // \vec{q}$ のとき、$\vec{q} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在する。

$\begin{pmatrix} 2 \\ s \\ s+t \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ 2k \\ 3k \end{pmatrix}$

よって、$2 = k$, $s = 2k$, $s+t = 3k$

$k=2$ より $s = 2(2) = 4$

$s+t = 3(2) = 6$ より $4+t = 6$, よって $t = 2$

したがって、$s=4, t=2$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -3/\sqrt{14} \\ 1/\sqrt{14} \\ -2/\sqrt{14} \end{pmatrix}$

(2) $\theta = 60^\circ$

(3) $x = -1$

(4) $x = -\frac{26}{5}$

(5) $s = 4, t = 2$