(5) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求めよ。また、外接円の半径 $R$ を求めよ。 (6) $\triangle ABC$ において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$ のとき、$\angle A$ を求めよ。 (7) $\triangle ABC$ において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

(5) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求めよ。また、外接円の半径 $R$ を求めよ。

(6) $\triangle ABC$ において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$ のとき、$\angle A$ を求めよ。

(7) $\triangle ABC$ において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(5)

まず、$\angle C$ を求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$ が成り立つので、$CA = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

よって、$CA = 2\sqrt{6}$

また、正弦定理より $\frac{AB}{\sin C} = 2R$ なので、$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{4}{2\sin 45^\circ} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

よって、$R = 2\sqrt{2}$

(6)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$ なので、$\cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2AB \cdot CA} = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle A = 60^\circ$

(7)

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6}$

よって、$S = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(5) $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

(6) $A = 60^\circ$

(7) $S = 6\sqrt{6}$