(1) $\triangle ABC$が存在し、$\triangle ABC$の最大の角が$A$であるとき、$\triangle ABC$が鈍角三角形であることと同値な条件を求める。選択肢の中から条件を選ぶ問題である。 (4) $\triangle ABC$において、$a:b:c = 1:\sqrt{3}:\sqrt{7}$であるとき、最大の角とその大きさを求める問題である。また、$\triangle ABC$の面積が$\sqrt{3}$であるとき、$a, b, c$の値を求め、内接円の半径を求める問題である。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$が存在し、$\triangle ABC$の最大の角が$A$であるとき、$\triangle ABC$が鈍角三角形であることと同値な条件を求める。選択肢の中から条件を選ぶ問題である。

(4) $\triangle ABC$において、$a:b:c = 1:\sqrt{3}:\sqrt{7}$であるとき、最大の角とその大きさを求める問題である。また、$\triangle ABC$の面積が$\sqrt{3}$であるとき、$a, b, c$の値を求め、内接円の半径を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABC$が鈍角三角形である条件は、$A > 90^\circ$であることと同値である。

$A > 90^\circ$ならば、$\cos A < 0$である。

また、$B+C < 90^\circ$である。

$a^2 > b^2 + c^2$も同値である。

よって、すべての条件が同値である。

(4)

$a=1, b=\sqrt{3}, c=\sqrt{7}$とする。

最大の角は$c$に対応する角$C$である。余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{1^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1+3-7}{2\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$C = 150^\circ$

次に、$\triangle ABC$の面積を求める。

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

問題文では面積が$\sqrt{3}$と書いてあるので、辺の比が$k:k\sqrt{3}:k\sqrt{7}$となるので、

$\sqrt{3} = \frac{1}{2} k \cdot k\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}k^2}{4}$

$k^2=4$

$k=2$

よって、$a=2, b=2\sqrt{3}, c=2\sqrt{7}$

内接円の半径$r$は、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$より、

$\sqrt{3} = \frac{1}{2} r (2+2\sqrt{3}+2\sqrt{7}) = r(1+\sqrt{3}+\sqrt{7})$

$r = \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$

$r = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{7})(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(1+\sqrt{3})^2 - 7} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})}{1+2\sqrt{3}+3-7} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})}{-3+2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})(-3-2\sqrt{3})}{(-3+2\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})(-3-2\sqrt{3})}{9-12} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})(-3-2\sqrt{3})}{-3}$

3. 最終的な答え

(1) ⑤

(4) キ：C、ク：150°

$a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $c=2\sqrt{7}$

内接円の半径は省略