$\alpha$ が第4象限にあり、$\cos \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\alpha$ が第4象限にあり、$\cos \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$ の値を求めます。$\alpha$ は第4象限にあるので、$\sin \alpha < 0$ です。

三角関数の基本公式 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を利用します。

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2$

$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169}$

$\sin^2 \alpha = \frac{169 - 144}{169}$

$\sin^2 \alpha = \frac{25}{169}$

したがって、$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}$

$\alpha$ は第4象限にあるので、$\sin \alpha = -\frac{5}{13}$ となります。

次に、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ の公式を利用します。

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{12}{13}$

$\sin 2\alpha = -\frac{120}{169}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = -\frac{120}{169}$