三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$。

## 問題の回答

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1. 問題の内容

この問題は、以下の3つの三角形に関する問題です。

* **[5]**: 三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $A = 75^\circ$, $B = 60^\circ$のとき、$CA$の長さと、外接円の半径$R$を求める。

* **[6]**: 三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $BC = \sqrt{7}$, $CA = 2$のとき、角$A$の大きさを求める。

* **[7]**: 三角形ABCにおいて、$AB = 8$, $BC = 3\sqrt{3}$, $B = 135^\circ$のとき、三角形ABCの面積$S$を求める。

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2. 解き方の手順

#### [5]

1. **角Cを求める:**

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$。

2. **正弦定理を用いてCAを求める:**

$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{CA}{\sin{B}}$より、

$CA = \frac{AB \cdot \sin{B}}{\sin{C}} = \frac{4 \cdot \sin{60^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$.

3. **外接円の半径を求める:**

$\frac{AB}{\sin{C}} = 2R$より、

$R = \frac{AB}{2\sin{C}} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

#### [6]

1. **余弦定理を用いてcosAを求める:**

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos{A}$より、

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos{A}$

$7 = 9 + 4 - 12\cos{A}$

$12\cos{A} = 6$

$\cos{A} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

したがって、$A = 60^\circ$.

#### [7]

1. **三角形の面積を求める:**

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin{135^\circ}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$.

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3. 最終的な答え

* **[5]** $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

* **[6]** $A = 60^\circ$

* **[7]** $S = 6\sqrt{6}$