(1) 円 $C_1: x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$ と点 $(-2, 2)$ を中心とする円 $C_2$ が外接している。円 $C_2$ の方程式を求めよ。 (2) 2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ ($r > 0$)と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 15 = 0$ が共有点をもつような $r$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 円 $C_1: x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$ と点 $(-2, 2)$ を中心とする円 $C_2$ が外接している。円 $C_2$ の方程式を求めよ。

(2) 2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ ($r > 0$)と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 15 = 0$ が共有点をもつような $r$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を平方完成して、中心と半径を求める。

$x^2 - 6x + y^2 - 4y + 9 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + 9 = 0$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$

よって、円 $C_1$ の中心は $(3, 2)$、半径は $2$ である。

円 $C_2$ の中心は $(-2, 2)$ である。

2つの円が外接しているので、中心間の距離は半径の和に等しい。

円 $C_2$ の半径を $R$ とすると、

$\sqrt{(3 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = 2 + R$

$\sqrt{5^2 + 0^2} = 2 + R$

$5 = 2 + R$

$R = 3$

円 $C_2$ の方程式は、中心 $(-2, 2)$、半径 $3$ なので、

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 9$

(2) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ の中心は $(0, 0)$、半径は $r$ である。

円 $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 15 = 0$ の方程式を平方完成して、中心と半径を求める。

$x^2 - 8x + y^2 - 4y + 15 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 + 15 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5$

よって、中心は $(4, 2)$、半径は $\sqrt{5}$ である。

2つの円が共有点を持つ条件は、中心間の距離が半径の和と差の間にあることである。

中心間の距離 $d$ は $d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ である。

半径の和は $r + \sqrt{5}$ であり、半径の差の絶対値は $|r - \sqrt{5}|$ である。

したがって、$|r - \sqrt{5}| \le 2\sqrt{5} \le r + \sqrt{5}$

$r - \sqrt{5} \le 2\sqrt{5}$ かつ $-r + \sqrt{5} \le 2\sqrt{5}$ より、$r \le 3\sqrt{5}$ かつ $r \ge -\sqrt{5}$。ただし、$r > 0$ より、$0 < r \le 3\sqrt{5}$

$2\sqrt{5} \le r + \sqrt{5}$ より、 $r \ge \sqrt{5}$

したがって、$\sqrt{5} \le r \le 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 9$

(2) $\sqrt{5} \le r \le 3\sqrt{5}$