与えられた式 $a^2b - a^2c - ac^2 - ab^2 - b^2c + bc^2 + 2abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b - a^2c - ac^2 - ab^2 - b^2c + bc^2 + 2abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$a$ について整理します。

$a^2b - a^2c - ac^2 - ab^2 - b^2c + bc^2 + 2abc = a^2(b-c) + a(-c^2 - b^2 + 2bc) - b^2c + bc^2$

$a^2(b-c) + a(-c^2 - b^2 + 2bc) - b^2c + bc^2 = a^2(b-c) - a(b^2 - 2bc + c^2) - bc(b-c)$

$a^2(b-c) - a(b^2 - 2bc + c^2) - bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b-c)^2 - bc(b-c)$

$(b-c)$ が共通因数なので、これでくくります。

$(b-c)(a^2 - a(b-c) - bc)$

$(b-c)(a^2 - ab + ac - bc)$

次に、$a^2 - ab + ac - bc$ を因数分解します。

$(b-c)[a(a-b) + c(a-b)]$

$(b-c)(a-b)(a+c)$

したがって、$a^2b - a^2c - ac^2 - ab^2 - b^2c + bc^2 + 2abc = (b-c)(a-b)(a+c)$

$(b-c)(a-b)(a+c) = -(a-b)(b-c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c+a)$

または

$(b-c)(a-b)(a+c)$