座標平面上の点 (2, 1) から円 $x^2 + y^2 = 1$ へ引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の点 (2, 1) から円 $x^2 + y^2 = 1$ へ引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の接点の座標を $(x_1, y_1)$ とする。

このとき、接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 1$ で表される。

点 (2, 1) から引いた接線なので、この接線は点 (2, 1) を通る。

したがって、接線の方程式に (2, 1) を代入すると、

$2x_1 + y_1 = 1$

よって $y_1 = 1 - 2x_1$ となる。

また、点 $(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点であるから、

$x_1^2 + y_1^2 = 1$

$y_1 = 1 - 2x_1$ を代入すると、

$x_1^2 + (1 - 2x_1)^2 = 1$

$x_1^2 + 1 - 4x_1 + 4x_1^2 = 1$

$5x_1^2 - 4x_1 = 0$

$x_1(5x_1 - 4) = 0$

$x_1 = 0, \frac{4}{5}$

$x_1 = 0$ のとき $y_1 = 1 - 2(0) = 1$

$x_1 = \frac{4}{5}$ のとき $y_1 = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$

したがって、接点の座標は (0, 1) と $(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$ となる。

(0, 1) を通る接線は $0 \cdot x + 1 \cdot y = 1$ より $y = 1$

$(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$ を通る接線は $\frac{4}{5} x - \frac{3}{5} y = 1$ より $4x - 3y = 5$

3. 最終的な答え

$y = 1$

$4x - 3y = 5$