$a$を定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 = 2(x-a)^2 - 2a^2 + 2a^2 = 2(x-a)^2$

したがって、与えられた関数は $y = 2(x-a)^2$ と変形できる。

この関数のグラフは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線である。定義域が $0 \le x \le 1$ であるから、軸の位置によって最小値を与える $x$ の値が変わる。

(1) $a < 0$ のとき

軸 $x = a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ の左側にあるので、$x = 0$ で最小値をとる。

最小値は $y = 2(0-a)^2 = 2a^2$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき

軸 $x = a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ の内部にあるので、$x = a$ で最小値をとる。

最小値は $y = 2(a-a)^2 = 0$

(3) $1 < a$ のとき

軸 $x = a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ の右側にあるので、$x = 1$ で最小値をとる。

最小値は $y = 2(1-a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

$1 < a$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$