$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{5}+\sqrt{6}$ をかけます。

$$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}}{(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}}{5-6} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}}{-1} = -(\sqrt{5}+\sqrt{6})$$

$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{6}+\sqrt{7}$ をかけます。

$$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{7}}{(\sqrt{6}-\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{7}}{6-7} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{7}}{-1} = -(\sqrt{6}+\sqrt{7})$$

したがって、

$$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}} = -(\sqrt{5}+\sqrt{6}) -(\sqrt{6}+\sqrt{7}) = -\sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{7} = -\sqrt{5} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7}$$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{5} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7}$