二重根号 $\sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$ を外す問題です。

1. 問題の内容

二重根号 $\sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$ を外す問題です。

2. 解き方の手順

二重根号を外すためには、$\sqrt{a \pm b \sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}}$ の公式を利用します。

まず、$10 - 5\sqrt{3}$ の形を $10 - \sqrt{75}$ に変形します。

$5\sqrt{3} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{75}$

したがって、$\sqrt{10 - 5\sqrt{3}} = \sqrt{10 - \sqrt{75}}$となります。

次に、公式を適用するために、$a = 10$, $b = 1$, $c = 75$ とします。

$a^2 - b^2c = 10^2 - 1 \times 75 = 100 - 75 = 25$

$\sqrt{a^2 - b^2c} = \sqrt{25} = 5$

したがって、

$\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} = \sqrt{\frac{10 + 5}{2}} = \sqrt{\frac{15}{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2}$

$\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} = \sqrt{\frac{10 - 5}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$\sqrt{10 - 5\sqrt{3}} = \sqrt{10 - \sqrt{75}} = \frac{\sqrt{30}}{2} - \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{30} - \sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{30} - \sqrt{10}}{2}$