実数 $a$ を用いて定義された2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を、$a$ の値によって分類する問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ を用いて定義された2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を、$a$ の値によって分類する問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $f(x)$ と $x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数と一致します。

したがって、判別式 $D$ を用いて考えます。

$f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30 = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = (-4a)^2 - 4(2)(4a^2 + 7a - 30) = 16a^2 - 8(4a^2 + 7a - 30) = 16a^2 - 32a^2 - 56a + 240 = -16a^2 - 56a + 240 = -8(2a^2 + 7a - 30)$

$D > 0$ のとき、共有点は2個。

$D = 0$ のとき、共有点は1個。

$D < 0$ のとき、共有点は0個。

$D = -8(2a^2 + 7a - 30) > 0$ を解きます。

$2a^2 + 7a - 30 < 0$

$(2a - 5)(a + 6) < 0$

$-6 < a < \frac{5}{2}$

$D = 0$ を解きます。

$2a^2 + 7a - 30 = 0$

$(2a - 5)(a + 6) = 0$

$a = -6, \frac{5}{2}$

$D < 0$ のとき、$a < -6$ または $a > \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

共有点の個数は、

$-6 < a < \frac{5}{2}$ のとき2個

$a = -6$ または $a = \frac{5}{2}$ のとき1個

それ以外の場合は共有点はない。