正四角錐 O-ABCD において、OA=OB=OC=OD=4, AB=BC=CD=DA=2 である。点 A から、正四角錐の表面上を通り、OB 上の点 P、OC 上の点 Q を経由して点 D まで行く経路の中で、最短の経路の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正四角錐 O-ABCD において、OA=OB=OC=OD=4, AB=BC=CD=DA=2 である。点 A から、正四角錐の表面上を通り、OB 上の点 P、OC 上の点 Q を経由して点 D まで行く経路の中で、最短の経路の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正四角錐の表面を、辺 OA, OB, OC, OD で切り開いて平面上に展開する。A から D までの最短経路は、展開図上では直線になる。

展開図は、点 O を中心として、A, B, C, D が扇状に並んだ形になる。

$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = \theta$ とすると、$\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODA$ はすべて合同な二等辺三角形である。

余弦定理より、$\cos\theta = \frac{4^2+4^2-2^2}{2 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{16+16-4}{32} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}$

したがって、$\angle AOD = 3\theta$ である。

$\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta = 4\left(\frac{7}{8}\right)^3 - 3\left(\frac{7}{8}\right) = 4\left(\frac{343}{512}\right) - \frac{21}{8} = \frac{343}{128} - \frac{336}{128} = \frac{7}{128}$

$\triangle OAD$ において、余弦定理より

$AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 \cdot OA \cdot OD \cdot \cos(3\theta)$

$AD^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{7}{128} = 16 + 16 - \frac{224}{128} = 32 - \frac{7}{4} = \frac{128-7}{4} = \frac{121}{4}$

$AD = \sqrt{\frac{121}{4}} = \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{2}$